昨天晚上是一课研究的期刊导读一周年，时间很快，很荣幸去年的这个时候参与了导读的第一期，而在一周岁生日的时候又能有幸参与。
这里我要再次为一课研究团队打call，赞叹于这个团队的专业素质和投入精神，四个期刊，每期都做，这么大的工作量，不知不觉已经坚持一年了。这个事情再次说明，教师真正的专业成长最终一定是需要整个群体的自觉自发的。
而教师专业化，不论是个体的成长还是作为职业群体的专业化，都一定不是喊口号弄师德楷模宣扬各种正能量能达成的，而是每一个老师踏踏实实思考出来实践出来的。
昨天在导读开始跟老师们分享了两张图片。
“Need cash for alcohol research”这一张图片的意思说明了两个事情：
（1）“研究”这两个字眼太重要了，是提升我们工作的品格或者说逼格的一个很好的一种方式，是提升我们的专业化手段的重要途径，连要钱都可以变得理直气壮。而且，从工作本身来说，可以让我们的工作变得有趣。
（2）“研究”这个词不是什么高深的事情，就隐含在平时的工作甚至生活当中。我有一个澳洲的朋友，我跟他交流的时候，他就特别喜欢用research这个词。比如假期里要出去旅游了，他就跟他老婆说，你通过网络做一些research，看看我们应该去哪里玩，应该吃什么，应该住哪里。但我们平时好像不大喜欢用研究这个词，似乎用上研究就是多么高大上的事情。
事实上，这幅图里给我们提供的信息就是，一个问别人要钱买酒喝的酒鬼，都说自己是在做research，那么我们老师为什么不可以说自己平时的思考和教学就是在研究呢。
第二幅图可能给老师们的冲击更大。究竟怎样做研究？其实需要两个东西，一个是研究的素材和数据，一个是研究的眼光和方法。
对于老师们来讲，平时最不缺的就是研究的素材和数据。那么有了研究的素材和数据之后，就是需要研究的眼光和方法。或者反过来说，有了研究的眼光和方法，才能收集到更好的素材和数据。
接下来就以美国特拉华大学蔡金法教授及其访问学者团队署名“游迪”的文章《用图形的面积来表征分数的优势和局限性》来说明一个很好的研究框架，在谈的过程中同时结合具体的教学内容。这篇文章从下面这个图开始，有的学生认为是1/3，有的学生认为是2/6。
从“数学分析”、“认知分析”以及“教学分析”三个方面来谈对一个教学内容的思考。
1.数学分析
数学分析就要关注这么几个事情，首先是数学内容到底是什么。这个题的数学内容肯定是分数。但作为数学老师，光知道是分数还是不够的，还要能知道，分数的意义是有很多层级的，比如Kieren在1980年就提出了这五种理解：分别是部分——整体（part-whole comparison），商（quotient）、测量（measure）、比（ratio）、算子（operator）。
我在《课程·教材·教法》2016年第3期有专门写文章谈过这个事情。当时我把operator翻译成了运算，当时因为觉得大陆没有人用算子这个词，觉得就翻译成运算好了，现在想来还是算子比较好。其实教材里也有注意分数的不同意义，比如分数乘法，各个版本是用了不同的意义的策略的。--《“推理与论证”大家谈：张丹谈教材》。
其次是要看从数学上，这个东西对不对，从数学上的分析来看，这个东西是对的，1/3当然没问题，2/6其实也是对的，不仅结果相等。从意义上看，就是把图2a平分，变成图2b和图2c，这样原来的3份就变成了6份。
但是请注意，作为教师，光从数学上分析对或者不对，是远远不够的。更需要的是从学生的认知来分析。
2.认知分析
学生的认知来分析，1/3当然没有问题了，那么为什么会出现2/6呢，学生是不是按照我们前面数学上的分析是像图2c这样把这个三角形和弓形切成2份来的呢？显然不是的。
那么学生的认识可能有两种情况，我们先来看第一种， 是直观认为三角形和弓形面积差不多，应该是相等的。个人认为，对于这样的学生，其实还可以进一步追问，比如明确告知学生这两部分阴影面积不相等，是否还可以用2/6表示。
因为从理解“份数”的本质上，这一种有可能跟1/3是一样的。但这里有可能还存在另外一种不一样的认识，比如这些学生能接受虽然形状不一样，但只要面积相等就可以看做是“一份”。
第二种，认为是分成了6份，阴影部分是其中的2份。这种认识跟前面1/3还有前面的2/6的认识是不一样的，前面是以“等积”来理解份数的，而这种并不是以等积来理解份数的。这才引起了本文讨论的主体内容。也就是说到底应该以怎样的方式来理解“份数”或者说“平均分”。事实上，对于“平均分”或者“份数”的理解是可以有不同理解方式的。
第一当然是面积或者分量相等，而我们用图形面积表征分数时，也总是有这样的一个潜在假设。但事实上，是还有另外一种理解方式的，而这种方式我们也都是普遍能接受的。比如文章第7页图7，这里图a和图b的苹果显然大小不一样，但我们还是愿意把它们理解成是可以当成一样的个体来理解部分和整体的。当然还有其他的例子，比如第6页的图3。
所以，通过认知分析，我们知道，学生在理解“部分——整体”关系的时候是存在不同的方式的，那么，在数学分析和认知分析之后，基于这样一种现实情况，我们该怎么去设计并进行我们的教学？也就是下面的教学分析。
3.教学分析
个人认为，对分数的不同层级意义的理解重视不够，是导致我们学生学习分数困难的重要原因--《我们在数学教学中对意义理解的追求足够了吗？》。
现在我们回到“部分——整体”（或者说份数）意义这个事情上来，根据前面的数学分析和认知分析，单单就这么一种意义，现在也出现了不同方式的意义理解，那么你在准备教学时，准备怎么应对这个事情，比如我们马上就能得到的三种教学方式。
一、强调每一份面积完全相等，要去避免或者淡化份数不相等的情况出现。
二、强调每一份面积完全相等，但如果有学生认为份数之间不相等的情况出现，也不纠正。
三、刻意突出份数之间不相等的情况出现。
那么你的认识不同，你选择的教学设计和实施就会不同。
以这个题为例，比如你持第一种观点，那么显然你会认为2/6是不对的，需要纠正学生的错误。第二种观点，学生出现2/6的时候，你可能就比较暧昧，大概会采取冷处理的方式。第三种观点，你大概会专门要跟学生讲为什么可以用2/6来表示。在这一内容教学的选择上，肯定也是不同的。
那么本文的观点，我们可以看出，是第三种，也就是说认为在教学生理解部分整体关系的时候，是需要允许并且帮助学生理解对份数的理解是可以有不同方式的。所以才有下面的一系列相应的教学行为。
首先在对平均分的意义的理解上，就用了很不寻常的素材。用了一个非常开放的素材。既可以按照方框来，按照方框还可以按照面积和个数来；也可以按照人数来，人数的总数还可以有不同的总数，甚至还可以两者一起来。
其次是对分数进行计数，这里其实是如何对份数和总数进行计数，至此，其实都是为了突出强调文中的这句话“我们在理解分数时总是要求等分，但这个等分可以是个数的等分、面积的等分、体积的等分、质量的等分……”
再次是对部分和整体的进一步理解，我的理解是这一部分有两个目的，一是让学生对部分和整体不仅是一个数字上的认知，还有对具体内容的感受。比如30块巧克力，可以是不同的样子的，而分出来的份数也是可以有不同的样子的。第二个目的是，不管样子是怎么样的，但最后表示出来的分数还是一样的。
最后回到图形面积这里，是为了让学生理解不管是1/3还是2/6，都要有具体的意义的理解。这里需要特别强调，其实光从结果上判断答案是否正确真不是最重要的，而是要看学生对于这个结果是怎么理解的？
最终我们再来看这个框架，数学分析就是教什么和学什么，认知分析就是学什么和怎么学，而教学分析就是怎么教。这个框架的最大意义就是我们对我们教学的思考应该是一贯的连续的，没有前面的数学分析和认知分析，直接来谈教学分析，可能会成为无本之木，无源之水。而如果有了前面的数学分析和认知分析，接下来讨论教学分析是个水到渠成的事情。
个人认为，这也给我们高校的研究者与一线老师的合作提供了一个很好的合作的结合点。
这篇文章对我的启发很大，一是这样的一个对教学的分析框架，二是对这一内容的深度研究，我之前对Kieren的分数的五个不同的意义有所关注，而我们的教材的处理上这一点是不够的，但我没有对“部分—整体”关系这个意义上学生还有不同的理解做更进一步的分析。
那么，所以我再次强调这个观点，论文是做出来的不是写出来的。所谓研究型教师，其实无非就是你的教学怎么来，是你自己思考出来的，把这个思考的过程记录下来。其实就是一篇研究论文。
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