今天想要从“负负得正”开始，跟大家随便聊聊数学情境的一些事情。
1.负数不是“自然”数
负数当然不是自然数，但标题里的自然加上引号的意思是负数并不是人类生活中自然产生的数。
虽然现在负数已经移到小学，北师大更是在四年级上册就有了负数。但从人类认识负数的历史来看，负数并不是个容易理解的事情，因为负数并不是“自然”数。而且，有很多人认为，负数的引入是为了生活的需要，个人认为这其实是个误会。生活中其实并不那么需要负数。
有人会说，你这个说法不对，负数在生活中明明很重要啊。比如，存款为正，欠钱为负。用-100表示我欠了100块，没有负数怎么办？但事实上，直接用正数表达不是也非常清楚吗？直接记作欠100块就好了嘛。再比如说，用负数来表示低于0度的温度，用-10°表示零下10度，没有负数可怎么办？但其实真是这样吗？如果没有负数，直接说零下10度，有什么问题呢？
所以，认为是生活的需要催生了负数的诞生。这种说法有一定道理，但并不是本质的。因为负数由两部分组成，其中负号表示方向，后面的数字表示数值。而后面的数字就是自然数，前面的负号可以用其他方式表达，比如直接用文字。
至少，从生活的需要这个角度来看，负数并不是不可缺少的。否则，在西方历史上，负数也不至于才几百年历史，而且，到了18世纪，还有很多数学家不能理解负数。甚至到19世纪，在学校代数课本中都没有对负数以及“负负得正”这样的概念的正确解释。或者说，负数不像分数，的确如果没有分数，生活中很多数没法表达。
那么，负数到底在什么意义上更重要呢？数学上。是数学系统的发展，使得负数必须出现。
首先，当然是数学表达的简洁性需要出现负数，用负数表示与正数意义相反但数值相等是多么的简洁方便。其次，如果没有负数，数系连最简单的减法都没法满足封闭。
数系的不断扩充是数学发展的重要内容，也使得在数系中能让更多的运算满足封闭。自然数，仅能对加法与乘法封闭，引入负数，使得减法封闭，再引入分数，使得对除法封闭。这样有了有理数系后，能让最基本的四则运算封闭。更进一步，引入无理数，使得对极限运算封闭。再引入虚数，使得对开方封闭。
遵循这样的一种思路，那么在最早教学负数的时候，除了在生活上让学生感受到负数的价值外，更重要的应该是让学生以一种以与正数“对称”的方式扩充展开数字系统的方式来认识负数。
从这个角度来讲，个人认为，北师大版在四上就认识负数，可能是一种更合适的处理方式。具体不再展开，如果有机会，以后再专门来谈这个问题。
2.“负负得正”可以有怎样的模型？
前面我一直强调，理解是数学当中最重要的事情，“负负得正”是一个非常难理解的事情。请问诸位是怎么理解这个事情的？是不是基本上都是当做一个规则记下来的？
有一件事情，我的印象非常深刻。
那是在2006年，我在浙师大刚结束研一，暑假里负责浙江省首批高中课改的培训的会务工作。有一次我去接高中课标制定组的专家，首都师大的王尚志教授。在车上聊到一些问题，不知怎么的他问到我为什么负负得正？当时的我是相当尴尬的，觉得作为一个数学教育的研究生，回答不了这样的一些看起来很基本的问题。
数学中的规则，其实都不是简单规定的。负负得正的确难理解，那么该怎么解释呢？有一些很好玩的解释。
比如，如果我们把好人记作正，那么坏人就是负；如果把进城记作正，那么出城就是负。现在可以有四件事情，一是好人进城，是好事，所以正正得正；二是好人出城，是坏事，所以正负得负；三是坏人进城，是坏事，所以负正得负；四是坏人出城，是好事，所以负负得正。很有意思，但可惜，这根本不能说明负负为什么得正。
那么，还有一些利用现实情境来进行解释的。比如，在上一篇中提到的《数学好的人是如何思考中》就给出了下图这样的现实模型来解释，这个模型的解释是对的，没有问题。
当然，给出现实模型来解释负负得正，并不是只有日本人这样做。事实上，华东师大的汪晓勤教授早在2005年的《中学数学教学参考》上就有过一篇文章《负数的历史与“负负得正”的引入》，就给出了一样的“负债”模型，除此之外，还给出了“运动模型”，“测量模型”，“动手模型”还有上面提到的这个坏人出城的“故事模型”。
但，不知诸位有没有这样的感觉，负负得正这里给出的这些现实模型，总让人感觉不是那么自然。或者说，总给人感觉这是一种“教学法上的颠倒”（弗赖登塔尔语，当然，他的本意不是说这种情况）。即，这是为了非要解释负负得正，才往回硬给出的模型。但事实上，如果要解决这样的模型，其实是不会用负负得正来做的。
那么，除了这些现实模型外，负负得正到底该怎么解释呢？事实上，还是要从数学上来处理。前面已经说过，应该要从数系扩充的角度来认识数系，那么当然也应该从数系扩充的角度来解释与负数相关的一些运算。
首先需要说明的是，正数与负数的相乘是容易理解的，只要把代表相反意义的那个负号保留着，其他的数值运算照搬自然数的运算就可以了。要先有这个前提，才能来看负负为什么要得正。数系扩充之后，一个基本要求是，在扩充后的数系中要尽量满足在原数系中可以得到满足的运算关系和运算律。
那么，我们知道在正整数中，是满足乘法对加法的分配律的。那么我们会希望，在引入负数扩充到整数系之后，同样也能满足分配律。
那么如果计算[（+1）+（-1）]×（-1），直接进行计算，结果为0×（-1）=0。那如果用分配律进行计算，就等于（+1）×（-1）+（-1）×（-1）=（-1）+？，现在（-1）×（-1）是多少不知道，但最终结果肯定是要等于0，那么这里的？必须是（+1）才行。而如果我们规定了负负得正之后，与数系中原来的运算关系和运算律都不会产生矛盾。
而在数系扩充的过程中，因为数学的需要而补充一些规则是常见的。负数引入还有生活意义，负负得正也存在现实模型。但是对负数开平方得到虚数单位i，则完全是为了满足对开方封闭的需要。这样也使得代数基本定理变得可能，也才使数字系统从一维到二维。所以，虽然，完全无法找到现实模型，但在数学上的意义却非常大。
当然，有时候为了扩充数系，也必须牺牲掉一些原数系中的一些性质和关系。比如，实数系扩充到复数系后，实数系的顺序性质就不复存在，即在复数系中不具有顺序性。再比如，如果不放弃交换律，那么汉密尔顿也就没办法创造出四元数。
3.教学中该怎么处理并运用“模型”？
经过前面的分析，我想对于负负为什么得正这个事情的解释已经够清楚了，已经可以从“故事”、现实以及数学这些“模型”上进行解释。那么，究竟哪个“模型”是最适合学生学习的呢？
我想，这个大概没有固定答案。可能会有人说，“故事”模型实在不严谨，数学“模型”又过于严肃，最好是用现实模型。但，是不是在数学教学中，现实模型永远都是最适合帮助学生理解的呢？
我曾有学生在实习的时候，给初一教负负得正这个事情。他想要通过一些现实模型，我跟他说了类似本文前面提到的那个“负债”模型。但补充了一句，我觉得如果给出这个模型，学生可能不会用负数乘负数来解决。
后来他做了一个班的测查，当给出那个“负债”模型，现在的钱记为0，一个月之前的钱为-1万，时间为-1。要求三个月前的钱。全班没有一个学生用（-1）×（-3）=（+3）来计算，而全是采用倒推的方式，往回三个月的钱，应该是0+1×3=3。
举这个例子的意思是说，在数学教学中，到底怎样的情境或“模型”是适合学生的，并没有一个固定的答案。而在教学中到底需要创设怎样的情境，给出怎样的“模型”，需要同时考虑是什么样的内容，以及学生的学习经验。
最后需要强调的是，负数的引入及相关运算，在数学上的意义可能要比生活上的意义要大得多。
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