这是一篇很早就想写的文章，但由于写的难度比较大，就一直没写成。
当时想写的起因是有一位友人曾经跟我探讨一个问题，说数学上为什么要引进“倍”的概念呢？在前面的学习中，有组数，有份数，将来还会学习比。为什么一定要专门安排一节课来学习“倍”？
当时我还真没深入想过这个问题，就临时发挥大致谈到了两点，第一是之前学的组数啊份数啊都是一种对具体问题的解决和思考方法，而数学是需要抽象的概括的思考的，倍就是一种由具体到抽象的概括的提炼。呃，好吧。我承认现在想来这个第一点是有点扯了。但我觉得我当时答的第二点是有道理的。
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人类有两种“比较”的方式
当时我说，“倍”是一个很原始但又特别特别重要的数学概念。说原始，是因为对两类事物进行比较是人类很重要的一个行为，但人类的比较无非就是两种方式。
第一种方式就是相应地“抵消”，看两类事物中哪一类没有了，哪一类还有剩下的，也就是之前就学过的减法的其中一种意义（一般认为，减法的意义模型有三种，一是拿走（take away），二是部分总体关系（part-part-whoe）或者说是缺失加数（missing addend），三就是比较问题了（compare problem））。
而第二种比较的方式不再是一个一个地相应抵消这样一种“同归于尽”的方式了。而是另外一种“衡量”的方式，也就是说，以其中的一个事物作为标准或标杆，来衡量另外一个事物到底有多少。
讲到这里，其实已经说明了“倍”的概念的特别重要。因为人类在日常的生活中一定是离不开比较的，第一种“抵消”的比较方式产生了比较减；而这第二种“衡量”的比较方式，其实也产生了“比较除”，只是我们叫另一个词“包含除”。而且，还有一个重要概念“度量”，其实也是“衡量”。
想明白了这一点，也就清楚了，度量说到底其实就是我们这里说的第二种比较方式的事。我们说的在度量教学中需要特别强调的“标准量”与“待测量”的比较，“以小量大”等等，其实都还不是度量的最根本所在。真正的根本其实就是“衡量”这个意义上的比，从这一点来看，度量也就是“倍”的教学。
讲到这里，我想应该已经把小学里为什么要专门学习“倍”这个内容讲清楚了。而且，其实也已经把小学生学习这个内容时的主要困难和最可能的迷思讲明白了。根本还不是在于对“倍”的概念的理解等等，其实是在于对于从“抵消”到“衡量”的比较方式的思考方法的转变。
2
思考方式转变的困难
事实上，当思考方式出现大的转变的时候，是学生学习上最大的困难所在。刚才说了，人类比较事物有两种方式。那么当学生最早接触第一种“抵消”的方式的时候为什么好像没那么难呢？其实你说没那么难，是因为你没有真正去看孩子当时是怎么想的。
最近和黄荣金教授合作的比较减法的教学已经结束了。需要再次感谢永嘉的小学数学教研员南欲晓老师和她团队的黄静老师和吴元井老师。我们收集了非常棒的数据，在研究过程中，其实学生的好多表现都大大超乎我们原先的预想。
比如，在给学生做的测试题中，我们一致认为下面这一题是最简单的，因为这是最简单的直接比较的题目。
但结果大大出乎我们意料，所有学生都能画出表示鸭的4只和鸡的1只，有相当一部分学生能够相应地对应起来。但几乎没有学生能正确地列出减法算式，而是加法。
刚开始我们认为是不是因为图片上画的鸡和鸭是对面走来的，给了学生“叠加”的动作暗示，于是又找了一批学生，把图片拿掉给学生做，但测试结果是一样的。说明不是图的问题。
那么，为什么学生在做这个我们看起来特别简单的题目的时候出现这么大的困难？结合教材的安排和对学生的访谈，我个人的分析是，学生之前的学习经验里，用减法的只有两种情况，一是拿走，二是求整体中的一部分。这两种情况共同的特点是都是同一组事物，而他们从来没有遇到过，有两组事物出现的时候是要用“抵消”的方式来做减法的。之前遇到的鸡多少，鸭多少的时候，都是要求解合起来是多少的问题的。
这里最大的困难，其实就是要转变原来已经习惯的固有的思考问题的方式。也就是说，当两个事物放在一起的时候，除了合在一起之外，还可以一个一个地对应“抵消”掉。
那么，有老师说，其实学生做这种比较减法的题目的时候，算式列得相当不错的呢。这里还是要区别两个事情，算式列得不错跟真正理解是两回事。
学生是有很多方法把算是列对的，比如找关键词啊，多就加，少就减。有一些老师甚至就是这样教的，效果还相当不错。遇到有些例外的题的时候怎么办呢？再识别另外的关键词啊。这里不再展开，只是说明，当一种全新的“思考方式”出现的时候，学生的学习是最困难的。而作为成年人，有时候甚至不是很理解困难到底在哪里。
那么，再回到“倍”的教学这里，现在老师们应该能理解，学生在学习“倍”的时候为什么会用减，因为他经验里的“比较”就是要这样“抵消”掉的啊。
甚至还有一种很有趣的错误，比如认为6个是2个的2倍，他是先从6个里“抵消”掉2个，再用2个去“衡量”剩余的4个。清楚了这些，老师最应该做的事情，是不是就是要帮助学生转变“思考方式”？也就是说要让学生意识到并理解比较两个事物，除了以前学的“抵消”，还有另外一种“衡量”的方式。
那么，在教学中除了要能识别那个用来“衡量”的“标准”之外，还有一点最应该注重的也就是作为“衡量”的那个“标准”产生变化，对于“比较”的结果会产生怎样的变化这样的变式。这篇文章已经够长，具体教学任务就不再赘述。
另外，上周末参加了一个非常高规格的小型数学教育研讨会，主题是张景中院士的教育数学思想以及用三角重新建构初中几何的构想。其中张院士偶然提到的一点觉得颇有启发。
他的新几何体系是以用边长为1的菱形的面积来定义sinα开始的，很多人都提到sinα应该是个比值，是没有单位的，面积是有单位的，这个关系怎么处理的问题。张院士说，物理里的面积的确是有单位的，但其实中小学阶段数学课里的面积是没有单位的，而且也是个比值。也就是说，面积其实是待测量与标准量的比值。如果我们限定在“以小量大”的范围内，其实就是待测量是标准量的多少“倍”。