今天发一篇之前在公众号发过的文章。后来整理后在《小学教学（数学版）》2017年第12期正式发表，整理之后文章的可读性要更强一些，今天再发一遍。
不久前，跟一个学校的老师讨论一节课，是人教版小学数学教科书四年级下册《三角形的特性》[1]的第一课时。
当时跟老师们说，你们教研组在研课确定目标时能不能尝试思考一下以下这几个问题：
1、认识三角形的上位数学知识[1]是什么？从数学上来说，三角形的什么东西的认识是重要的？前后相关的知识是什么？
2、对于学生而言，在这个阶段，这节课中，学习什么东西是最核心的？为什么？
3、课标里相应的要求是什么？你是怎么理解的？这些核心的东西，在教材里有没有体现？是怎么体现的？
4、这些在教材里的东西，可以通过怎样的教学行为来落实？
事实上，这几个问题是通用的，对于任何内容来说，在目标设计时都需要思考。
但老师们看到这几个问题的时候表示了为难，因为觉得完全无从讨论起，就这一页教材而已，都是这么简单的东西，实在没什么好研讨的。
那么，接下来，本文就结合“三角形的特性”这一内容，尝试去谈谈就这一页教材内容，老师们到底有什么需要而且可以思考的。
1 与这一内容前后相关的数学知识有什么？
这个问题，其实就是这部分三角形的学习与学生之前三角形的学习有什么不同。
相信多数老师都比较清楚，之前学生对三角形的学习，仅仅是一种感性的认识，也就是说只要能判断出怎样的图形是三角形就可以了。
而到了这个阶段的学习，是需要从组成三角形的要素，比如边、角、顶点、高等来认识三角形。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）在第一学段的总目标为“经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形”，在具体目标上为“能辨认三角形等简单图形；会用三角形等图形拼图”。
而在第二学段的总目标则是“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”，在具体要求上则要求认识三角形的各种性质。[2]
也可以简单这样讲，之前是学习生活中见到的三角形，而现在是要带着研究的眼光来学习数学上的三角形。
清楚了这一点，就可以明白这节课在引入部分是可以很快速进入的，只要以学生平时对三角形的感性认识，画出三角形后就可以开始从数学上来认识三角形了。
而似乎并没有太大必要花很多时间再让学生用语言来描述他们在感性上认识的三角形。现在我们来看下面的问题。
2 三角形到底是怎么定义的？三角形又是由什么确定的呢？
这个问题也很简单，教材上是这么定义的，“由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形”。
我们都知道在画三角形时一般都是画三条线首尾相连而成。
这当然是没有问题的，但既然要在数学上来认识三角形，不如我们来较个真，那么这首尾相连的三条线段又是怎么来的呢？
让我们来看看2002年出版的裘光明主编的《数学辞海·第一卷》中对三角形的定义：
“三角形是指平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形（包括它的内部区域）。”[3]
现在来看这个定义的要点在哪里？对了，就在于这里先给定的是三个点，然后由每两点确定三条首尾相连的线段，也就是三条边。
其实这是容易理解的，两点确定一条直线，所有的线段，一定是先要有两个点，才能连结而成的。
课标在第二学段“图形的认识”中开始就有一条要求“体会两点间所有连线中线段最短”，[2]这里其实就已经提到了连点成线。
事实上，关于这一点，教材里是有体现的，请注意在上面提到的教材中的定义的括号里的文字是“每相邻两条线段的端点相连”。[1]
细细品味，这里是不是可以理解成围成三角形的每条边都应该是连结两个点得到的呢？
有了这样的认识之后，对我们的教学设计和行为能带来什么不同呢？
笔者认为，这里是否应该可以给学生一种与之前画三角形不同的方法？即给定三个点，让学生通过连点成线的方式来作出三角形。
这里不要小看连点成线这个动作，这对学生这个阶段的几何学习是至关重要的。
因为，在正式进入几何学习之后，初等几何无非就是五个内容，分别是直观几何（大致对应义务教育阶段的“图形的认识”）、运动几何（大致对应“图形的运动”）、度量几何（大致对应“图形的测量”）坐标几何（大致对应“图形与位置”）和演绎几何（大致对应推理与证明的相应内容）这五个内容。
而在学生需要认识的所有几何图形及其变换都是连点成线，线动成面，面动成体的事情。
既然如此，在正式开始从数学的意义上来学习几何时，当然应该要给学生体验连点成线形成几何图形的经验。
此外，让学生进一步感受到所有的线段都是连结两点得到的，这也为下面的高的学习做好铺垫。
3 三角形的高到底是怎么作出来的？
这里需要首先指出一点，有老师认为三角形的高的教学并不重要，因为作高似乎只是单纯的技能的学习，只需要在计算三角形面积时介绍高在哪里就可以。
笔者认为，这样的认识是不够全面的。
事实上，三角形的高绝不止是在计算面积时才有用，要把高看作是确定三角形特性的重要要素之一。
譬如，我们在描述一个四边形时，采用的形容词往往是“大”或者“小”，而在描述一个三角形时，所用的形容词往往会是“高”或者“矮”（如下文所举的帐篷的例子），这就说明高在描述三角形的特性时是有重要作用的。
从数学上进行分析，由于三角形高线的唯一性，如果给定了对应的底和高，这个三角形就可以被唯一地确定下来。
而在四边形中，则只有当有对边平行时，才有高的概念，而且并不唯一，仅给定底边和高，平行四边形或梯形并不能确定下来。
而如果是五边形以上的多边形，一般不再讨论高的概念。
此外，还需要先明白一个事情，我们平时在讨论几何图形的高时，其实是有两个不同层面的意义的——高线与高度。
很显然，高线是一条线段，而高度则是高线的度量值。
比如，我们都说，平行四边形有无数条高，这里的高指的是高线，是具体能够画出的垂直于平行四边形两对边的线段，这样的线段可以作出无数条。
但这无数条高线有一个共同点，它们的长度是一致的，也就是说，平行四边形的高度（当然，这里是指同一对对边之间）其实还是只有一个的。
我们在给学生讲平行四边形有无数条高线的时候，其实更应该强调高度只有一个，而平行四边形之所以有无数条高线，是因为能作出的代表同一高度的高线有无数条。
这样的认识对于以后的等积变换无疑是有帮助的。
现在回到三角形上来，三角形的高线到底是怎么作出来的？相信很多老师都会觉得这是一个再简单不过的问题。
要作三角形的高线，不就是拿三角板中直角的一边与底边重合，平移三角板，将直角的另一边移动到与顶点对齐后，作一条线到底边。作出来的这条线就是这个三角形的高线。
但是，请仔细思考一下，这样作三角形的高线的方法是正确的吗？请一定注意本文上面提到的一句话，任何的直线（不包括曲线）一定是通过连结两点得到的。
那么请问，在刚才这个作三角形的高线的过程中有连结两点吗？显然没有，所以，真正作高的方法应该是这样的，前面用三角板的过程都一样，拿直角的一边与底边重合，然后直角的另一边移动到顶点。
但接下来的步骤应该是这样的，确定直角与底边的交点，也就是垂足，然后用直尺连结顶点与垂足。
请千万不要小看这个细微的差别，让我们回到教材里看看是怎么说的，“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。”[1]
现在是否理解了文章开头所提的问题的意思？上位数学知识是什么，在教材里是怎么体现的？
到这里还没完，有了这样的认识，那么怎么转化为我们的教学行为呢？既然高也是连结两点，这两个点分别是顶点和垂足，那么我们的教学是不是其实就是让学生找到这两点？先看顶点，我们可以尝试有这样的设计，如图1这样三个形状的帐篷，哪个是最合适的？
图1
学生一定会说是中间这个，因为左边的太矮了，右边的太高了。
那么，为什么说太高了？什么可以代表三角形的高？该怎么找到三角形的高？
学生可能会有各种不同的尝试来找高，如图2中的这些线段，很显然这些“高”的长度都不一样，但如前所述，三角形的高度显然应该是唯一的。
因此这些显然都不是，而原因就在于上面的这个点一直在移动，我们需要把它确定下来。
至此，学生应该很容易就能想到三角形的高应该从顶点开始作。
图2
图3
然后再到第二个点的寻找，从顶点往下作图，仍有可能出现很多不同的高度（如图3），还是沿着高度唯一的这个思路，在底边上找到垂足，应该也是自然的事情（这个过程中如果能合理运用信息技术工具，效果会更好。
如用几何画板，从顶点作线段到底边上，移动底边上的点，可以显示出不同的斜线，高度都各不相同，而连结顶点与垂足时的线段是最特殊的）。
通过这样的过程，找到三角形的高线是自然的，就是找到两个确定的点，使得高度唯一确定下来。
经历了这样的过程，对学生来说三角形的高就是自己思考后逐步找出的，而不是直接给出的，更不是天外飞仙一样凭空得到的。
而且，能更好帮助学生理解高的含义。但是，如果学生不理解高的意义，可能需要机械地记忆定义，从而只能用文字去对照所画的线段是否是高。
4 对小学数学教学有什么指导意义？
我们再来简单总结一下本文开头提出的四个对目标设定的问题对于一节数学课的设计与实施的指导意义。
首先，通过对上位知识的深入思考，能有助于抓住教学的本质。而只有关注学生需要发展什么，才能使教学的设计更有意义。
如分析本节课三角形的定义后，知道连结两点才得到边，进而形成三角形，而连点成线也是学生今后几何学习的关键之一，这样使得课堂有了长程的眼光。
今天发一篇之前在公众号发过的文章。后来整理后在《小学教学（数学版）》2017年第12期正式发表，整理之后文章的可读性要更强一些，今天再发一遍。
不久前，跟一个学校的老师讨论一节课，是人教版小学数学教科书四年级下册《三角形的特性》[1]的第一课时。
当时跟老师们说，你们教研组在研课确定目标时能不能尝试思考一下以下这几个问题：
1、认识三角形的上位数学知识[1]是什么？从数学上来说，三角形的什么东西的认识是重要的？前后相关的知识是什么？
2、对于学生而言，在这个阶段，这节课中，学习什么东西是最核心的？为什么？
3、课标里相应的要求是什么？你是怎么理解的？这些核心的东西，在教材里有没有体现？是怎么体现的？
4、这些在教材里的东西，可以通过怎样的教学行为来落实？
事实上，这几个问题是通用的，对于任何内容来说，在目标设计时都需要思考。
但老师们看到这几个问题的时候表示了为难，因为觉得完全无从讨论起，就这一页教材而已，都是这么简单的东西，实在没什么好研讨的。
那么，接下来，本文就结合“三角形的特性”这一内容，尝试去谈谈就这一页教材内容，老师们到底有什么需要而且可以思考的。
这个问题，其实就是这部分三角形的学习与学生之前三角形的学习有什么不同。
相信多数老师都比较清楚，之前学生对三角形的学习，仅仅是一种感性的认识，也就是说只要能判断出怎样的图形是三角形就可以了。
而到了这个阶段的学习，是需要从组成三角形的要素，比如边、角、顶点、高等来认识三角形。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）在第一学段的总目标为“经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形”，在具体目标上为“能辨认三角形等简单图形；会用三角形等图形拼图”。
而在第二学段的总目标则是“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”，在具体要求上则要求认识三角形的各种性质。[2]
也可以简单这样讲，之前是学习生活中见到的三角形，而现在是要带着研究的眼光来学习数学上的三角形。
清楚了这一点，就可以明白这节课在引入部分是可以很快速进入的，只要以学生平时对三角形的感性认识，画出三角形后就可以开始从数学上来认识三角形了。
而似乎并没有太大必要花很多时间再让学生用语言来描述他们在感性上认识的三角形。现在我们来看下面的问题。
这个问题也很简单，教材上是这么定义的，“由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形”。
我们都知道在画三角形时一般都是画三条线首尾相连而成。
这当然是没有问题的，但既然要在数学上来认识三角形，不如我们来较个真，那么这首尾相连的三条线段又是怎么来的呢？
让我们来看看2002年出版的裘光明主编的《数学辞海·第一卷》中对三角形的定义：
“三角形是指平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形（包括它的内部区域）。”[3]
现在来看这个定义的要点在哪里？对了，就在于这里先给定的是三个点，然后由每两点确定三条首尾相连的线段，也就是三条边。
其实这是容易理解的，两点确定一条直线，所有的线段，一定是先要有两个点，才能连结而成的。
课标在第二学段“图形的认识”中开始就有一条要求“体会两点间所有连线中线段最短”，[2]这里其实就已经提到了连点成线。
事实上，关于这一点，教材里是有体现的，请注意在上面提到的教材中的定义的括号里的文字是“每相邻两条线段的端点相连”。[1]
细细品味，这里是不是可以理解成围成三角形的每条边都应该是连结两个点得到的呢？
有了这样的认识之后，对我们的教学设计和行为能带来什么不同呢？
笔者认为，这里是否应该可以给学生一种与之前画三角形不同的方法？即给定三个点，让学生通过连点成线的方式来作出三角形。
这里不要小看连点成线这个动作，这对学生这个阶段的几何学习是至关重要的。
因为，在正式进入几何学习之后，初等几何无非就是五个内容，分别是直观几何（大致对应义务教育阶段的“图形的认识”）、运动几何（大致对应“图形的运动”）、度量几何（大致对应“图形的测量”）坐标几何（大致对应“图形与位置”）和演绎几何（大致对应推理与证明的相应内容）这五个内容。
而在学生需要认识的所有几何图形及其变换都是连点成线，线动成面，面动成体的事情。
既然如此，在正式开始从数学的意义上来学习几何时，当然应该要给学生体验连点成线形成几何图形的经验。
此外，让学生进一步感受到所有的线段都是连结两点得到的，这也为下面的高的学习做好铺垫。
这里需要首先指出一点，有老师认为三角形的高的教学并不重要，因为作高似乎只是单纯的技能的学习，只需要在计算三角形面积时介绍高在哪里就可以。
笔者认为，这样的认识是不够全面的。
事实上，三角形的高绝不止是在计算面积时才有用，要把高看作是确定三角形特性的重要要素之一。
譬如，我们在描述一个四边形时，采用的形容词往往是“大”或者“小”，而在描述一个三角形时，所用的形容词往往会是“高”或者“矮”（如下文所举的帐篷的例子），这就说明高在描述三角形的特性时是有重要作用的。
从数学上进行分析，由于三角形高线的唯一性，如果给定了对应的底和高，这个三角形就可以被唯一地确定下来。
而在四边形中，则只有当有对边平行时，才有高的概念，而且并不唯一，仅给定底边和高，平行四边形或梯形并不能确定下来。
而如果是五边形以上的多边形，一般不再讨论高的概念。
此外，还需要先明白一个事情，我们平时在讨论几何图形的高时，其实是有两个不同层面的意义的——高线与高度。
很显然，高线是一条线段，而高度则是高线的度量值。
比如，我们都说，平行四边形有无数条高，这里的高指的是高线，是具体能够画出的垂直于平行四边形两对边的线段，这样的线段可以作出无数条。
但这无数条高线有一个共同点，它们的长度是一致的，也就是说，平行四边形的高度（当然，这里是指同一对对边之间）其实还是只有一个的。
我们在给学生讲平行四边形有无数条高线的时候，其实更应该强调高度只有一个，而平行四边形之所以有无数条高线，是因为能作出的代表同一高度的高线有无数条。
这样的认识对于以后的等积变换无疑是有帮助的。
现在回到三角形上来，三角形的高线到底是怎么作出来的？相信很多老师都会觉得这是一个再简单不过的问题。
要作三角形的高线，不就是拿三角板中直角的一边与底边重合，平移三角板，将直角的另一边移动到与顶点对齐后，作一条线到底边。作出来的这条线就是这个三角形的高线。
但是，请仔细思考一下，这样作三角形的高线的方法是正确的吗？请一定注意本文上面提到的一句话，任何的直线（不包括曲线）一定是通过连结两点得到的。
那么请问，在刚才这个作三角形的高线的过程中有连结两点吗？显然没有，所以，真正作高的方法应该是这样的，前面用三角板的过程都一样，拿直角的一边与底边重合，然后直角的另一边移动到顶点。
但接下来的步骤应该是这样的，确定直角与底边的交点，也就是垂足，然后用直尺连结顶点与垂足。
请千万不要小看这个细微的差别，让我们回到教材里看看是怎么说的，“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。”[1]
现在是否理解了文章开头所提的问题的意思？上位数学知识是什么，在教材里是怎么体现的？
到这里还没完，有了这样的认识，那么怎么转化为我们的教学行为呢？既然高也是连结两点，这两个点分别是顶点和垂足，那么我们的教学是不是其实就是让学生找到这两点？先看顶点，我们可以尝试有这样的设计，如图1这样三个形状的帐篷，哪个是最合适的？
图1
学生一定会说是中间这个，因为左边的太矮了，右边的太高了。
那么，为什么说太高了？什么可以代表三角形的高？该怎么找到三角形的高？
学生可能会有各种不同的尝试来找高，如图2中的这些线段，很显然这些“高”的长度都不一样，但如前所述，三角形的高度显然应该是唯一的。
因此这些显然都不是，而原因就在于上面的这个点一直在移动，我们需要把它确定下来。
至此，学生应该很容易就能想到三角形的高应该从顶点开始作。
图2
图3
然后再到第二个点的寻找，从顶点往下作图，仍有可能出现很多不同的高度（如图3），还是沿着高度唯一的这个思路，在底边上找到垂足，应该也是自然的事情（这个过程中如果能合理运用信息技术工具，效果会更好。
如用几何画板，从顶点作线段到底边上，移动底边上的点，可以显示出不同的斜线，高度都各不相同，而连结顶点与垂足时的线段是最特殊的）。
通过这样的过程，找到三角形的高线是自然的，就是找到两个确定的点，使得高度唯一确定下来。
经历了这样的过程，对学生来说三角形的高就是自己思考后逐步找出的，而不是直接给出的，更不是天外飞仙一样凭空得到的。
而且，能更好帮助学生理解高的含义。但是，如果学生不理解高的意义，可能需要机械地记忆定义，从而只能用文字去对照所画的线段是否是高。
我们再来简单总结一下本文开头提出的四个对目标设定的问题对于一节数学课的设计与实施的指导意义。
首先，通过对上位知识的深入思考，能有助于抓住教学的本质。而只有关注学生需要发展什么，才能使教学的设计更有意义。
如分析本节课三角形的定义后，知道连结两点才得到边，进而形成三角形，而连点成线也是学生今后几何学习的关键之一，这样使得课堂有了长程的眼光。