什么是位值制，怎样去解释任意一个数的每个数位的位置呢？下面我们将以几个例子进行解释。
比如说28.其中2和8分别代表什么？从所有至多两位数列成的长方形阵列可以看出，以2为十位数都位于第三行，如下表所示
根据记数的方法，28是由20出发再多8步得到的。从而28中的2表示20,8就表示8本身，所以28意味着我们从20出发再数8步。在这个例子中，我们称28中2的位值是20,8的位置就是8。
728中的数字分别代表什么意思？同样的，我们回忆由所有至多三位数列成的长方形阵列，以7为百位的数位于这个阵列的第八行，为了数到728，必须先数到700，在多数28步，下面是第八行的一个略表：
700 701 702 ........ 709 710 711 ....... 719 720 721 ........ 798 799
结合对28的讨论，我们看到，如果从700开始，数20步到达720，然后再数8步就能到达728.因此，728中7的位值是700,2的位值是20,8的位置就是8本身。
再来考虑3728中每一位数字代表的意思：与前面一样，在所有至多四位数组成的长方形阵列中，以3为千位的数位于这个阵列的第四行。这一行中第一个数是3000，从3000出发再走728步就得到3728，如下表就是第四行：
3000 3001 3002 ........ 3009 3010 ......... 3099 3100 ......... 3998 3999
结合对728的讨论，我们看到，为了得到3728，从3000开始，先数700步，再数20步，最后数8步。由此可以得出结论，3728中3代表3000,7代表700,2代表20,8就代表8。
我们对于记数过程中的浓墨重彩现在体现了额外的优势，回忆我们用连续记数来对自然数加法进行定义。前面对3728中的每个数字的值的结论现在可以看成是连续记数的一个结论：从3000开始，先数700步，再数20步，最后数8步。用加法的语言就是说：
3728=3000+700+20+8
这个和，表示出了3728的每个数位的位值，我们把它称为3728的展开式。
3728的结论可以立即推广到任意自然数，不管这个自然数有多少位。例如，52746是从50000开始，数2000步再数700步，然后数40步，最后数6步得到的。进一步讲，加法的定义使得前面的结论可以写成52746的展开式：
52746=50000+2000+700+40+6
为防止读者由于太熟悉位值制的思想而忽视它的重要性，我们来看另一个不同的记数法以做比较：在罗马记数法中，数字33用XXXIII来表示。注意到三个X在不同的位置上，但是每一个都表示10，而不是100或1000。类似的，三个I也占据不同的位置，但是每一个都表示1。
因此XXXIII表示10+10+10+1+1+1。对此阿拉伯记数法中的111：左边第一个1表示100，第二个1表示10，第三个1才表示1自身。看到区别了吧。
可观察到，阿拉伯记数法中，即时一个人并不熟悉记数过程，他也会（至少在直觉上）知道“101大于88”，因为“101中的数位比88多”。
而在罗马记数法中，没有看起来得这么简单：CI（等于101）看上去显然“小于”LXXXV（等于85）。
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出处：美：伍鸿熙著 赵洁、林开亮译 . 《数学家讲解小学数学》. 北京大学出版社出版[M]. 2016.04
适用于上学期第一单元