如何理解小数

人们对小数的认识要比对分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。

建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示为6.75元；另一方面是为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数。如果没有无理数的小数表示，人们就很难进行无理数的加法运算，比如，虽然人们很早就知道√2和√3，但无法进行这两个无理数数的加法运算。如果借助小数，就可以把这两个无理数分别数表示为：

这样，于是就可以进行这两个无理数的加法运算：

为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于重新理解十进制。人们终于发现，可以用10的幂（次方）的形式来表示十进制。因为10的正整数次幂、0次幂、以及负整数次幂可以表示为：

这样，无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合表出，比如：

人们通常称这样的表示为线性组合，称其中10的整数次幂为基底。因此，一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合，而一个小数就可以用10的负整数次幂表示。