以往教学中，在学生不借助直观模型而直接计算时，会出现不少困难。那么，这些困难能通过直观模型来克服吗？学生在探索方法和理解算理的过程中，直观模型真的起作用吗？
带着这样的思考，我们对某小学40 个没有学过这部分内容的三年级学生进行了调研。他们已经学习了两位数乘一位数。起初，题目没有给出任何直观模型，而是要求学生想办法计算14×12。结果40个学生全部用竖式计算，其中22 个学生基本正确（包括方法正确，但计算时出现了错误），18 个学生出现了较大困难。然后，我们对遇到困难的18 个学生全部进行了访谈，并请他们借助图1 完成两个任务：
任务1，借助点子图思考如何计算出14×12 的结果；
任务2，如果能够计算出正确结果，再将计算过程写成竖式。
通过访谈，这 18 个学生都能根据点子图通过“拆数”（如上面学生 1 至学生 4 的方法），得到计算结果。但作为竖式计算的基础，需要将数拆分成 10 和几（如学生 4），部分学生需要引导才能想到。在完成任务2 时，有 8 个学生能够独立完成，10 个学生困难较大。下面是对上述两个任务都能独立完成的学生的访谈记录（括号内为笔者注释）。
1.首先，教师了解学生原先的竖式是如何计算的。
师：你是怎么算 14×12 的？
生：个位二四得八，十位 1×1=1；个位与十位 2×1=2，1×4=4。
（学生 “自创” 的竖式体现出他并不知道应该怎么做，更没有自发地想到去“拆数”来转化为已有知识）
2.给了学生点子图后，学生正确地给出了结果。教师了解他又是如何思考的。
师：这个图的点子数，你是怎么算出的？
生：14×10=140,14×2=28,140+28=168。
（没作任何引导，看点子图学生就自然地将 12 分成10 和 2，看来图对于这个学生是有用的）
师：你怎么想到了 10？
生：我不会算 14×12，但我知道 10 个 14 是 140。
（此时， 教师要求他在点子图上圈一圈并说明思考过程，该生能圈出 10 个 14，2 个 14）
3.进一步，教师想了解点子图对他修改原来的竖式是否有帮助。
师：通过点子图与竖式的对比你发现了什么？
生：都是 14 乘 12，一样。
师：那用竖式应该怎么算？
学生给出了新的竖式：
（虽然学生的写法还是错误的，但他已经不是“瞎写”了，而是试图表现出刚才的思考过程：14×10=140,14×2=28,140+28=168。这一方面说明借助点子图得来的方法促使他反思了自己原来的写法，另一方面说明由刚才的思考过程到写成竖式并不是自然发生的）
师：（帮助他修改）应该写成 14×2=28，再算什么？
生：140+28=168。
（该学生后来在老师指导下学会写竖式了。 然后，学生独立完成 26×14、36×13，竖式全部正确）
师：看着这几道题你发现了什么？
生：比如 36×13，把 13 拆成 10 和 3，先算 36×3，再算
36×10，再加起来。
师：点子图有用吗？
生：有用，可以把 12 拆成 10 行和 2 行。
（这句话说出了点子图对于这个学生的帮助）
面对这样的调研结果，我们不难得出如下结论：
第一，所有开始困难的学生借助点子图全部完成了任务 1，而且都采取了“拆数”的方法将其转化为两位数乘一位数。同时，由于拆法的不同从而产生了多种算法。由此可见，直观模型对于学生探索方法是有很大帮助的，并且，对比开始没有模型时学生得出结果的困难，直观模型无疑是有用的。
第二，如果针对竖式计算，学生需要完成两个任务。第一个任务是将其中的一个乘数“拆成 10 和几”，然后运用乘法分配律，如 14×10=140，14×2=28，140+28=168；第二个任务是将上面的过程表示成竖式的形式。根据访谈，我们发现，点子图有利于学生方法的多样，但并不直接指向“拆成 10 和几”，而下图的方块图却很容易促使学生将乘数“拆成 10 和几”。
因此，不同的直观模型由于其“结构”不同而有着各自的作用。
第三，要实现把思考过程表述为竖式的形式，有时并不是自然完成的，如上面访谈的学生。因此，要充分意识到这个过程的重要性。
来源：张丹,例谈直观模型在计算教学中的作用,小学教学[J]2010.07-08
适用于 三年级下第三单元