经常有小学数学教师问我这样的问题：“在整数除法中，余数可不可以为0。”其实，“余数可以为0”这个问题早有定论，我认为有如下理由。
众所周知，当盘子中连一个桃子都没有时，我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲，0是空集的基数，0表示“没有”。
然而，0又是一个确定的数，它是自然数列的起始数，它既不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数。
所以，我们应该用对立统一的辩证观点看待0，懂得0既可表示“无”，又可表示“有”。
这样考察整数除法，我们不难发现，当15÷5时，得到整数商3，既可以说“没有余数”，也可以说“余数为0"。
这两种说法是完全等价的，因而都是正确的。
人们对数学概念的认识并非一成不变的，而是处于不断发展变化之中的。
例如，“整数”与“分数’，最初是两个并列的概念，它们相互排斥，径渭分明，不容混淆。
后来，人们又把整数看做是分母为1，分子为该整数的假分数，如3=3/1,65=65/1。
这样一来，“分数”的外延就扩大了，“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。
与此类似，人们研究整数除法时，先研究被除数能被除数整除的情形，如15÷5，正好得到整数商3，记作15÷5=3。后来才研究有余数的情形，如16÷5，得到不完全商3后还余1，记作16÷5=3……1。
起初，“整除”与“有余数的除法”也是互不相容，前者没有余数，后者有余数。
后来，为了研究的方便，把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”。
这样一来，“整除”就成了“有余数的除法”的特例，“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一，二者统一于广义的“有余数的除法”之中。
事实上，“余数为0”的提法早已被数学界认可。
(1)《小学数学教师手册》（人民教育出版社，1982年）第49页有如下表述:“判定一个整数能不能被另一个正整数整除，只需进行除法运算即可。
如果所得的余数为0，就是整除的情况；如果所得的余数不为0，就是不能整除的情况。”
(2)《数学手册》（人民教育出版社，1979年）第1057页“数论”的“辗转相除法”中，有如下表述: “每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r，0 ≤r<b。
式中q称为a被b除所得的不完全商，r称为a被b除所得的余数。”
第1066页“数论”的“同余式”中，有如下表述：“设以m为模，则可将全体整数分为m个类，同类的数都同余不同类的数都不同余，称这样的类为同余类，每类中各取一数为代表，例如:0,1,2,…,m-1构成一个完全剩余类。”
肖鉴铿（江西南昌师范高等专科学校）.在整数除法中余数可以为零.小学教学研究[J].2010.5